Radici dell’unità complesse: somma e prodotto

Eccoci tornati per un altro articolo di matematica; oggi si parla di radici dell’unità nel campo complesso. Indagheremo insieme un paio di loro proprietà risolvendo un esercizio. Buona lettura!

Prima di tutto un paio di richiami. In questo articolo scriveremo \(\exp(z)\) per indicare \(e^z\). Se \(n\) è un numero intero positivo, una radice \(n\)-esima dell’unità è un numero complesso \(\zeta\), ossia un elemento di \(\mathbb{C}\), tale per cui \(\zeta^n=1\). Sappiamo che, per \(n\) fissato, ne esistono esattamente \(n\). Per la formula di de Moivre, queste hanno per espressione

\(\zeta_k=\exp(2\pi i k /n),\)
\(k=0, 1, \dots, n-1\).

Si noti come i numeri interi compresi tra \(0\) e \(n-1\) siano esattamente \(n\). Tra queste radici ce n’è una speciale, la radice

\(\zeta=\zeta_1=\exp(2\pi i /n).\)

In particolare, si noti come \(\zeta_k=\zeta^k\), la potenza \(k\)-esima di questa radice speciale, per ogni \(k=0, 1, \dots, n-1\). Ora possiamo passare all’esercizio vero e proprio.

Si fissi un numero intero positivo \(n\). Si considerino le \(n\) radici dell’unità complesse \(\zeta_0=1, \zeta_1, \dots , \zeta_{n-1}\). Determinare somma e prodotto di tali elementi.

Iniziamo dalla somma. Una rappresentazione grafica dovrebbe riuscire a suggerirci una risposta. Sappiamo che le radici \(n\)-esime dell’unità si dispongono sui vertici di un \(n\)-agono regolare inscritto nella circonferenza unitaria centrata nell’origine, avente un vertice esattamente nel punto \(1\). Per \(n=5\), ad esempio, la rappresentazione grafica di tali radici è riportata in figura:

Dunque, visto che la somma dei primi \(n\) numeri interi positivi vale \(n(n+1)/2\), quella dei primi \(n-1\) vale \((n-1)n/2\). Sostituendo nell’espressione di \(P\), e ricordando che \(\zeta=\exp(2\pi i/n)\), giungiamo vicini al risultato:

\(P=\zeta^{(n-1)n/2}=\exp(\frac{2\pi i (n-1)n}{2n})=\)
\(=(\exp(\pi i(n-1))=(\exp(\pi i))^{n-1}.\)

L’identità di Eulero ci regala il valore di \(\exp(\pi i)\):

\(e^{i \pi} +1=0\),

ossia \(\exp(\pi i)=-1\). Dunque, in conclusione,

\(P=(-1)^{n-1}\),

ossia \(P\) vale \(1\) se \(n\) è dispari, mentre \(P\) vale \(-1\) se \(n\) è pari, e questo risponde alla seconda domanda dell’esercizio. Esiste un modo geometrico di visualizzare come mai \(P\) valga esattamente questa quantità, dipendentemente dalla parità di \(n\). Ti lancio una sfida: non è che riesci a trovarlo? (Hint: prendi una radice “sopra” e una radice “sotto”, ossia la sua coniugata; qual è il loro prodotto?)

Questo era un esercizio sulle radici dell’unità complesse 😉
Speriamo tu possa aver trovato utile questo nostro articolo.
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