Negare e dimostrare: la dimostrazione per assurdo

La dimostrazione per assurdo è uno strumento molto potente utilizzato in matematica. Spesso tuttavia non viene approfondita in modo consistente al liceo, per motivi di tempo.

Ricordiamo per prima cosa che una dimostrazione matematica procede partendo da delle ipotesi (= cose che già si sanno, che sono note in partenza) per arrivare a una tesi (= cosa che si deve provare). La dimostrazione per assurdo si basa su questo principio: si parte dal negare la tesi, ossia prendere per ipotesi il contrario della tesi, e si procede nel ragionamento. Quindi insieme alle ipotesi normali ne aggiungo una ulteriore, che è l’opposto della tesi. Si arriverà alla fine ad un punto in cui si genera un assurdo, ovvero un risultato che contraddice le ipotesi iniziali. Ma questo non può andare bene, le ipotesi devono essere corrette, siamo partiti da quelle! Il problema nasce dall’aver negato la tesi, che non poteva allora essere negata. A questo punto si conclude che, dal momento che la tesi non può essere falsa (perché altrimenti si genera un assurdo), essa deve essere vera.

Vediamone ora insieme alcuni esempi concreti, perché così capire risulta più facile.

Non esiste un numero razionale minimo

Voglio dimostrare quanto segue: tra i numeri razionali positivi (quindi > 0), non esiste uno che sia minimo. E per farlo, procedo proprio per assurdo! Assumo allora per vero il contrario della tesi, quindi che esista un numero minimo, che chiamo \(r\). Considero ora il numero \(\frac{r}{2}\). Ci accorgiamo subito che \(0 < \frac{r}{2} < r\), perché lavoriamo sui numeri maggiori di zero. Ma questo è un assurdo! Infatti \(\frac{r}{2}\) è ancora un numero razionale (abbiamo soltanto diviso per 2), e risulta essere più piccolo di \(r\). Abbiamo assunto per ipotesi che \(r\) fosse il minimo razionale positivo, ma ora ne abbiamo trovato un altro che risulta essere più piccolo. Ci troviamo quindi in presenza di un assurdo. Posso concludere che, dal momento che questo assurdo è nato dall’aver assunto che ci fosse un numero razionale minimo, la tesi deve essere per forza vera. Quindi non esiste un minimo razionale positivo.

I numeri primi sono infiniti

Un altro esempio molto interessante di dimostrazione per assurdo è provare che i numeri primi sono infiniti, ovvero non ce n’è uno massimo. Ricordiamo per prima cosa che un numero primo è un numero divisibile solo per 1 e per se stesso. \(2,3,5,7,11,13\) sono esempi di numeri primi.

Anche in questo caso neghiamo la tesi, assumendo che esista un numero primo massimo \(k\). I numeri primi dunque saranno \(2,3,5,7,…,k\). Consideriamo allora il numero \(M\) definito da \(M=(1\cdot 2 \cdot 3 … \cdot k) + 1\), ovvero il prodotto di tutti i numeri primi (che sono un numero finito), a cui poi aggiungiamo 1. Ora, questo nuovo numero \(M\) è primo: infatti, abbiamo elencato tutti i primi, e per ciascuno di essi, \(M-1\) risulta essere un multiplo, quindi il suo successivo \(M\) di sicuro non lo potrà essere. Allora \(M\) è un numero primo, ma è anche di sicuro \(M > k\), perché ho generato \(M\) proprio partendo da un multiplo di \(k\) e poi aggiungendo 1. Ho quindi trovato un primo che è più grande di \(k\). Ma avevo preso per ipotesi che \(k\) fosse il più grande dei numeri primi, quindi sono arrivato ad un assurdo. Come prima, l’assurdo nasce dal fatto che ho negato la tesi (ho assunto per vero che ci fosse un numero primo massimo). La tesi, non potendo essere falsa, è di sicuro vera, quindi concludo che i numeri primi sono infiniti.

\(\sqrt2\) non è razionale

Come ultimo esempio, vogliamo dimostrare questa affermazione: \(\sqrt2\) non è razionale, ovvero non si può rappresentare come una frazione della forma \(\frac{a}{b}\), con \(a,b\) interi.

Procediamo, ancora una volta, per assurdo: assumo che \(\sqrt2\) sia razionale. Posso allora scrivere \(\sqrt2 = \frac{a}{b}\). In generale, possiamo tranquillamente assumere che \(a,b\) siano primi tra loro (se così non fosse, riduco la frazione ai minimi termini e uso quelli come nuovi \(a,b\)). Allora otteniamo che \(\frac{a^2}{b^2} = 2\), da cui \(a^2 = 2b^2\). Ma allora vuol dire che \(a^2\) è pari, e essendo un numero intero, anche \(a\) è pari. Posso allora scrivere \(a = 2 \cdot k\). Se sostituisco nell’equazione precedente, ottengo \((2k)^2 = 2b^2 \Rightarrow 4k^2 = 2b^2 \Rightarrow 2k^2 = b^2\). Ma allora anche \(b\) è un numero pari! Ma qui nasce un assurdo, perché abbiamo imposto che \(a,b\) fosse due numeri coprimi (quindi senza divisori comuni), e abbiamo poi trovato che \(2\) li divide entrambi (perché sono pari). Siamo in presenza di un assurdo, che nasce proprio dall’aver supposto che \(\sqrt2\) fosse razionale. Concludo che deve per forza essere irrazionale!

Siamo giunti alla conclusione, quelli che abbiamo visto insieme sono solo alcuni esempi per capire meglio il concetto, ma se la matematica vi appassiona scoprirete che la dimostrazione per assurdo gioca un ruolo sempre più importante man mano che le cose si fanno serie.

Questa era la dimostrazione per assurdo!
Speriamo tu possa aver trovato utile questo nostro articolo.
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