Grafici da grafici

Come disegnare il grafico di una funzione a partire da una funzione data?

Sia dato il grafico di \(f(x)\): l’obiettivo è quello di disegnare il grafico del suo reciproco \(g(x)=\frac{1}{f(x)}\).

Immagine 1

Osserviamo il grafico di \(f(x)\) e facciamo alcune considerazioni.

1. Dominio di \(g\). Dove non è definita \(f\), non può chiaramente essere definita \(g\); inoltre dobbiamo mettere una condizione ulteriore su \(g(x)\), dovuta al fatto ch eil suo denominatore (\(f(x)\)) non si può annullare. Pertanto \(\textit{D_g=Dominio_f\setminus Z_f}\), dove \(Z_f\) indica l’insieme degli zeri di \(f\). Essendo \(D_f=(-\infty,2)\cup(2,+\infty)\) e \(Z_f=\{1,4\}\), allora \(D_g=(-\infty,+\infty) \setminus \{1,2,4\}\);
2. Segno di \(g\). Poichè \(g(x)\) è una frazione il cui numeratore (\(1\)) è sempre positivo, \(g(x)\) ha lo stesso segno del suo denominatore, i.e. \(f(x)\). Pertanto \(sgn(f)=sgn(g)\). Osservando il grafico di \(f(x)\) concludiamo che \(g(x)>0 \iff x\in (1,2)\cup(4,+\infty)\).
3. Zeri di \(g\). Ricordiamo nuovamente che \(g(x)\) è una frazione in cui il numeratore è costantemente \(1\), dunque non si annulla mai. Per questo motivo \(g(x)\), laddove è definita, non si annulla mai. \(\forall x\in D_g \, g(x)=\frac{1}{f(x)}\neq 0 \).
4. Limiti agli estremi del dominio di \(g\). Dobbiamo andare a considerare i limiti per \(x\to \pm \infty,x\to 1^{\pm},x\to 2^{\pm},x\to 4^{\pm}\). Osserviamo preliminarmente che, assumendo $x_0\in \overline{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup\{\pm\infty\}$ se \(lim_{x\to x_0} f(x)=l \in \mathbb{R}\setminus \{0\}\Rightarrow g(x)\overset{x\to x_0}{\to}\frac{1}{l}\). Se invece \(f\overset{x\to x_0}{\to}0^{\pm}\Rightarrow g\overset{x\to x_0}{\to}\pm\infty\). Infine , qualora \(f\overset{x\to x_0}{\to} \pm \infty \Rightarrow g\overset{x\to x_0}{\to}0\). (i) $ latex lim{x\to -\infty} f(x)=0^-\Rightarrow lim_{x\to -\infty} g(x)=-\infty$; (ii) \(lim_{x\to 1^{\mp}} f(x)=0^{\mp}\Rightarrow lim_{x\to1^{\mp}}g(x)=\mp\infty\); (iii) \(lim_{x\to2^{\mp}}f(x)=\pm\infty\Rightarrow lim_{x\to 2}g(x)=0\); (iv)\(lim_{x\to 4^{\mp}}f(x)=0^{\mp}\Rightarrow lim_{x\to4^{\mp}}g(x)=\mp\infty\); (v) \(lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty\Rightarrow lim_{x\to +\infty}g(x)=0^+\).
5. Derivata prima e punti stazionari di \(g(x)\). Utilizziamo la formula di derivazione per la frazione, in base al quale \((\frac{n}{d})’=\frac{n’d-nd’}{d^2}\). Nel nostro caso \(g'(x)=(\frac{1}{f(x)})’=\frac{0f(x)-1f'(x)}{f(x)^2}=-\frac{f'(x)}{f(x)^2}\). Poichè il denominatore di \(g’\) è sempre positivo, \(g’ > 0 \iff -f’ >0 \iff f'<0\). Pertanto laddove sono definite entrambe \(g\) e \(f\) hanno derivate prime sempre discordi, e \(g\) cresce \(\iff f\) decresce e viceversa. Per quanto riguarda i punti stazionari, \(g’=0\iff f’=0\), dunque i punti stazionari di \(f\) e \(g\), laddove sono definite entrambe, sono gli stessi ma cambiano di tipo: punti di masimo relativo per \(f\) sono punti di minimo relativo per \(g\) e viceversa, mentre i punti di flesso rimangono punti di flesso. Fatte queste osservazioni, concludiamo che nel nostro caso particolare \(f\) decresce se e solo se \(x\in(-\infty,-2)\), dunque \(g\) cresce se e solo se \(x\in (-\infty,-2)\). Per quanto riguarda i punti stazionari, l’unico punto stazionario di \(f\) è \(x=-2\), che è punto di minimo relativo per \(f\). Poichè \(x\in D_g\), allora \(x\) è punto stazionario anche per \(g\), ed è un punto di massimo relativo per \(g\) (ATTENZIONE: se il punto stazionario di \(f\) si trovasse in un punto in ci \(g\) non è definita, ad esempio \(x=1\), questo non si traduce in un punto stazionario per \(g\)).

Siamo ora pronti per disegnare il grafico di \(g\), partendo dal passo (1) fino ad arrivare al passo (5).

Immagine 2.

Ecco il grafico di \(g(x)\), che siamo riusciti a disegnare senza fare troppi calcoli, ma solo osservazioni astute.

Questo era un esempio di come disegnare il grafico di una funzione a partire da un grafico dato  😉
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