Coniche

Luoghi di zeri

Un secondo punto di vista è invece algebrico e ci permette di affermare quanto segue.

DEFINIZIONE:
Le coniche sono i luoghi degli zeri di generici polinomi di secondo grado in due variabili.

Cerchiamo di capire meglio cosa significa ciò prendendo in considerazione un generico polinomio di secondo grado in due variabili:

\(P(x,y)=Ax^2+Bxy+Cy^2+ \\ Dx+Ey+F.\)

A questo punto, seguendo la definizione appena data, una conica risulta essere il seguente insieme:

\(C:=\{(x,y)\in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \text{ t.c. } \\ P(x.y)=0 \}.\)

Riscriviamola utilizzando la definizione di \(P(x.y)\) e otteniamo:

\(C:=\{ (x,y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \text{ t.c. } Ax^2+ \\ Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0\}.\)          (1)

In base a questa definizione si capisce ancora meglio che una conica è un sottoinsieme del piano cartesiano \(Oxy\).

Avendo adottato una simile definizione, però, dobbiamo accettare – come nel caso precedente – la presenza di alcune coniche degeneri. Mostriamo ora qualche esempio.

Esempio 1

Sia \(P(x,y)=x^2+y^2\).

La conica corrispondente al luogo di zeri di questo polinomio si riduce a un unico punto, cioè l’origine degli assi. Infatti l’unica coppia \((x,y)\) che soddisfa \(x^2+y^2=0\) è \((0,0)\).

Esempio 2

Sia ora \(P(x,y)=x^2-y^2\).

Ricercare gli zeri di questo polinomio equivale a risolvere l’equazione \((x-y)(x+y)=0\). Le soluzioni sono tutte le coppie \((x,y)\) che soddisfano \(x-y=0\) oppure \(x+y=0\): pertanto la conica degenera in una coppia di rette incidenti \(x=y\) e \(x=-y\), la bisettrice del \(I\) e \(III\) quadrante e la bisettrice del \(II\) e \(IV\) quadrante), vale a dire

\(C=\{(x,y)\in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \text{ t.c. } x=y\} \\ \cup \{(x,y)\in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \text{ t.c. } x=-y\}.\)

Supponiamo infine di trovarci di fronte a un polinomio

\(P(x,y)=Ax^2+Bxy+Cy^2 \\ +Dx+Ey+F\)

il cui luogo degli zeri non sia una conica degenere.

Allora come è possibile distinguere fra i diversi tipi di coniche di cui abbiamo parlato prima? Per rispondere a questa domanda diventa fondamentale il ruolo del \(\Delta\) (o discriminante).

\(\Delta = B^2 – 4AC,\)          (2)

dove \(A,B\) e \(C\) sono coefficienti del polinomio \(P(x,y)\).

1. \(\Delta>0\) La conica è un’iperbole;
2. \(\Delta=0\) La conica è una parabola;
3. \(\Delta < 0\) La conica è un’ellisse (o una circonferenza, caso particolare dell’ellisse).

 circonferenza coniche ellisse iperbole parabola