Radici e coefficienti: relazioni in un’equazione di secondo grado

Eccoci qui per un altro articolo di matematica. Oggi si parla delle relazioni tra le radici e i coefficienti in un’equazione di secondo grado. Sai ricavare la somma dei cubi delle radici solo dando un occhio all’equazione, e senza trovare le radici stesse? Buona lettura!

Un’equazione di secondo grado è un’espressione del tipo
\(ax^2+bx+c=0\)
con \(a\neq 0\). Diciamo che un valore \(x_0\) è soluzione o radice dell’equazione se, sostituito all’interno dell’espressione, restituisce un’identità. Così, ad esempio, \(1\) e \(-1\) sono soluzioni di \(x^2-1=0\). Sappiamo che un’equazione di secondo grado può o meno ammettere soluzioni reali. In particolare, denotato con \(\Delta=b^2-4ac\), sappiamo che
\(\Delta > 0 \Leftrightarrow \ \text{due soluzioni reali distinte}\)
\(\Delta = 0 \Leftrightarrow \ \text{due soluzioni reali coincidenti}\)
\(\Delta < 0 \Leftrightarrow \ \text{nessuna soluzione reale}.\)
Supponiamo quindi che \(\Delta \ge 0\) e proviamo a rispondere alla seguente domanda:

Se \(x_1, x_2\) sono le due soluzioni dell’equazione (eventualmente coincidenti) quanto valgono la somma \(x_1 + x_2\) e il prodotto \(x_1 \cdot x_2\)?

Una possibile risposta potrebbe essere: troviamo le soluzioni e svolgiamo i calcoli. D’accordo, ma vorrei proporvi un metodo più pulito ed elegante, che da un lato non coinvolge il simbolo di radice, dall’altro fa capire qualcosa di più sulle equazioni di secondo grado. Per il Teorema di Ruffini, sappiamo che, poiché \(x_1\) e \(x_2\) sono soluzioni dell’equazione, i polinomi \(x-x_1\) e \(x-x_2\) devono apparire nella fattorizzazione del polinomio \(ax^2+bx+c\), ossia
\(ax^2+bx+c=q(x)(x-x_1)(x-x_2).\)
D’altronde, poiché il grado del polinomio a sinistra è 2, \(q(x)\) deve essere costante, in altre parole \(q(x)=q\). Inoltre, confrontando i coefficienti di \(x^2\) a sinistra e a destra, otteniamo \(q=a\). Quindi
\(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2).\)
Svolgiamo il prodotto nel termine a destra:
\(a(x-x_1)(x-x_2)=ax^2 -a(x_1+x_2)x + a x_1 x_2.\)
Per il principio di identità dei polinomi, dobbiamo avere l’uguaglianza dei coefficienti per avere l’uguaglianza dei polinomi! In particolare,
\(b=-a(x_1+x_2)\)
\(c=a(x_1 x_2).\)
Ora ci ricordiamo che \(a\neq 0\), dunque dividendo per \(a\) otteniamo le espressioni per somma e prodotto che cercavamo, ricavando il seguente risultato:

In un’equazione di secondo grado, se \(\Delta \ge 0\), la somma delle due radici vale \(-b/a\), il prodotto delle due radici vale \(c/a\).

Vediamo qualche esempio di applicazione di questo risultato.

Esercizio. Determinare per quali valori di \(k \in \mathbb{R}\) l’equazione \(x^2 + (2k+3)x + 6k=0\) ammette soluzioni reali \(x_1, x_2\) tali per cui la loro somma eguaglia il loro prodotto.

Notiamo che il coefficiente del termine di secondo grado vale 1, dunque l’equazione è davvero un’equazione di secondo grado per ogni valore di \(k\). Studiamo il segno del \(\Delta\):
\(\Delta=b^2-4ac=\)
\(=(2k+3)^2-4(6k)=4k^2 +12 k +9 -24k=\)
\(4k^2-12k+9=(2k-3)^2,\)
che risulta essere sempre non negativo in quanto quadrato. Dunque l’equazione ammette radici reali per ogni valore di \(k \in \mathbb{R}\). La richiesta dell’esercizio si traduce in
\(x_1 + x_2 = x_1 \cdot x_2,\)
ossia
\(-b/a=c/a \Rightarrow\)
\(\Rightarrow -(2k+3)=6k\)
che ha per unica soluzione \(k=-3/8\), che è anche la soluzione dell’esercizio.

Esercizio. Data l’equazione \(x^2 +6x -39=0\), verificato che questa ammette soluzioni reali, determinare la somma dei quadrati delle radici.

Prima di tutto
\(\Delta/4=3^2+39=48>0,\)
dunque l’equazione ammette due radici reali distinte. La richiesta, stavolta, non è immediata. Dobbiamo utilizzare qualche trucchetto! Quel che vogliamo calcolare è \(x_1^2 + x_2 ^2\). Conosciamo la somma e il prodotto di \(x_1, x_2\); siamo in grado di riscrivere la somma dei quadrati in funzione di queste quantità? La risposta è affermativa. Prima di tutto, partiamo dal quadrato della somma:
\((x_1 + x_2)^2= x_1^2 + 2x_1 x_2 + x_2^2\).
Ora siamo molto vicini a quel che ci interessa! Basta sottrarre due volte il prodotto delle radici. Otteniamo
\(x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 – 2x_1 x_2=\)
\(= (-b/a)^2 -2c/a= b^2 / a^2 -2 c/a =\)
\(= \frac{b^2-2ac}{a^2}.\)
Non confondiamo il numeratore con l’espressione del \(\Delta\)! Sostituendo i coefficienti dell’equazione, abbiamo
\(\frac{6^2 – 2\cdot (-39)}{1}=36+78=114.\)

Esercizio. Consideriamo l’equazione \(x^2-2kx+k^2-k=0\), al variare di \(k \in \mathbb{R}\). Determinati i valori di \(k\) affinché l’equazione ammetta radici reali, trovare \(k\) tale per cui la somma dei cubi delle due radici è nulla.

Come al solito, studiamo la condizione \(\Delta/4\ge 0\):
\(\Delta/4=k^2-(k^2-k)=k,\)
dunque imponiamo \(k \ge 0\). Ora vogliamo trovare un trucchetto per scrivere la somma dei cubi di \(x_1\) e \(x_2\) in funzione della loro somma e del loro prodotto. Siete in grado di farlo senza sbirciare?

Analogamente a quanto fatto prima, cominciamo dal cubo della somma
\((x_1 + x_2)^3 = x_1^3 + 3x_1^2 x_2 + 3 x_1 x_2^2 + x_2^3.\)
Di nuovo otteniamo qualcosa di molto simile a quel che cerchiamo, ma con qualche termine in più. Ci basta notare che
\(3x_1^2 x_2 + 3x_1 x_2^2=3x_1 x_2(x_1 + x_2)\)
e il gioco è fatto. Utilizzando le relazioni trovate possiamo scrivere
\(x_1^3 + x_2^3= (x_1+x_2)^3 – 3 x_1 x_2 (x_1 + x_2)=\)
\(= (2k)^3 -3(k^2-k)(2k)= 8k^3 – 6k^3 +6k^2=\)
\(= 2k^3 + 6k^2.\)
Questo valore è nullo se e solo se \(k=0\) oppure \(k=-3\). Quest’ultimo è tuttavia da escludere per la condizione \(k\ge 0\). La risposta è quindi \(k=0\).

Osservazione. Per \(k=0\) l’equazione diventa \(x^2=0\) che ha per soluzione 0 con molteplicità 2. Potevamo quindi rispondere a occhio che almeno il valore \(k=0\) soddisfa le condizioni. Ciononostante, in generale esistono più valori che realizzano la condizione somma dei cubi nulla, dunque l’esercizio va effettivamente svolto.

Osservazione. La condizione \(k=-3\) è da escludere per quanto abbiamo imposto sul segno del \(\Delta\). La cosa interessante è che esiste un posto, chiamato campo dei numeri complessi, indicato con \(\mathbb{C}\), in cui ci si può dimenticare di questa condizione, dove equazioni come \(x^2+1=0\) ammettono soluzioni. Sembra complicato trovare soluzioni a un’equazione del genere… In ogni caso, quel che abbiamo mostrato è che, anche se un’equazione di secondo grado a coefficienti reali non ha soluzioni reali, ma complesse (qualsiasi cosa questo voglia dire), la somma e il prodotto di queste devono essere comunque reali, in quanto possono essere ottenuti come espressioni dei coefficienti, che sono reali! E, più in generale, ogni espressione che dipende solo da somma e prodotto delle due radici (come somma dei quadrati o somma dei cubi delle radici) sarà ancora un numero reale, nonostante le radici non stiamo in \(\mathbb{R}\)! Per quelli tra voi che hanno la fortuna di conoscere già i numeri complessi, provate a capire meglio perché questo fatto peculiare accada (suggerimento: complesso coniugato). In bocca al lupo!

Questo era un esercizio su radici e coefficienti 😉
Speriamo tu possa aver trovato utile questo nostro articolo.
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